286 Johannes Petersen. 



un angle de ce triangle, il faut le considérer comme le chemin 

 angulaire inférieur a 180° que Tune des directions positives 

 des deux cotés de eet angle doit faire antonr dn sommet de 

 l'angle pour coincider avec l'autre direction. Snpposons que 

 le triangle donné subisse sin 1 la sphére un déplacement infini- 

 ment petit, d'oii résultent, pour les cotés, des accroissements 

 inflniment petits, indépendants les uns des autres. Les six 

 différentielles dA, dB : dC , d(BC), d(CA) et d(AB) sont re- 

 présentées par six segments finis qui leur sont proportionnels, 

 savoir OA n OB^ OC t , OA 2 , OB 2 et OC 2 portes respective- 

 ment par OA, OB, OC, OA 1 , OB 1 et OC 1 . Appelons ces six 

 segments les fluxions des angles et des cotés. Nous nous 

 proposons de démontrer le théoréme suivant: 



Q u a n d un triangle s p h é r i q u e variable, tracé 

 sur une sphére donnée, y subit un déplacement 

 arbitraire infiniment petit, la somme géométrique 

 des fluxions des angles et des cotés sera nu Ile. 



Pour démontrer ceci, considérons d'abord le cas partikulier 

 ou l'angle A = 90°, dB = et d{BC) = 0. Comme il ne 

 s'agit ici que des accroissements mémes des cotés et des 

 angles, sans égard a la relation mutuelle de position entre 

 les deux triangles consécutifs, nous pouvons maintenir immo- 

 biles B et C, et amener A a la position A" (sur AB). 



Le triangle AA"C donne alors d'aprés des formules connues: 



sin d(AB) sin [CA] 



:D; 



cot(A + dA)'COt(dC) = cos(CA") 

 ou bien, puisque A = 90° : 



dA = — cos (CA) • dC 



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