Nouveau principe pour etudes de géométrie des droites. 295 



que « n 6 n t\ og d A soient des normales respectives 

 a a , b , c et d. 



Si (nÆcd) = — 1 et \abcd\ =0, les quatre droites sont 

 dites orthoharmoniques. 



Si Ton a trois normales a l , ^ et c t aux cutés dune 

 figure trilinéaire et qifon appelle « 2 la plus courte distance de 

 [Jjcj a «, l'on aura, en vertu des extensions des propositions 

 de Menelaos et de Ceva: 



[Ba 1 Ca i ] = et (Ba 1 Ca i ) = — 1. 

 On a alors une figure qui correspond a un quadrilatére com- 

 plet ordinaire, de facon qu'aux groupes harmoniques de points 

 et de droites de ce quadrilatére correspondent, dans la figure, 

 des groupes orthoharmoniques de droites. Deux droites , et 

 leurs bissectrices forment un groupe de droites orthoharmoniques. 



Si, sur quatre droites orthoharmoniques, trois passent par 

 le méme point, la quatriéme doit y passer aussi. Si les trois 

 premieres droites sont «, b et c et la quatriéme d, on a en 

 effet Pab =0, Pd = ; par conséquent, puisque \abcd\ = 0, 

 P ad = p cd} [ad\ cot (ad) = [cd\ cot (cd), ce qui ne peut se 

 realiser que pour [ad] = 0, dans le cas oii «, b et c sont des 

 droites ditl'érentes. 



Ayant quatre lignes orthoharmoniques a, b, c et d et m 

 bissectrice de \ac], on a: tg 2 (am) = tg (mb) • tg (md) r done aussi 



J- am ~^T (J- mb ~J~ J- md)- 



Faisceaux de normales orthoprojectifs. 



8. Nous avoas maintenant les elements suffisants d'une 

 extension compléte de la géométrie projective. I/ensemble des 

 oo 2 normales u une droite dans l'espace constitue ud faisceau 

 de normales. Nous appelons orthoperspectifs deux faisceaux 

 de normales, quand une droite de lun de ces faisceaux corres- 

 pond, dans l'autre faisceau, a la droite qui la coupe a angle 



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