298 Johannes Petersen. 



Si k est négatif et Æf<0, fon ne trouve aucune droite 

 coramune et seulement une paire de normales réciproques, o 

 et o t qui se correspondent. En cherchant a o x une normale 



fy 



x telle que sin (ox) = + V — A-, P ox = — , on verra que les 



plus courtes distances de x aux paires de droites de rinvolution 

 donnée, constituent une involution orthoperspective. 



Voici les conditions pour que les trois paires de normales 

 a une droite donnée, soit aa u bb x , cc 1 forment une ortho- 

 involution : 



sin {ab t ) - sin (bc i) • sin (ca i) = sin(ae l ) • sin (føj • sin(ci 1 ) 



et P a i t -J- Pb Cl -\- P cai = Paci -{- Pba t -\~ Peb v 



Si les cinq droites sont situées dans le méme plan, la sixiéme 

 aussi doit se trouver dans ce plan. Prenons les plus courtes 

 distances d'une droite arbitraire dans l'espace a six droites 

 formant un faisceau et en involution , nous aurons six droites 

 formant une ortlioinvolution, qui pourtant n'est pas la plus 

 générale; en effet, quand on a cinq normales a une droite 

 donnée, il est généralement impossible de trouver dans l'espace 

 un point dont les distances a ces droites soient situées dans 

 un méme plan. 



La proposition de Desargues sur le quadrilatére complet 

 conduit au théoréme suivant: 



Les plus co ur tes distances d'une droite dans 

 l'espace aux arétes d'une figur e trilinéaire et aux 

 distances d'une au tre droite aux cotés, sont en or- 

 tlioinvolution. 



Conoi'de de Plticker. 



10. Si, sur une droile et å partir de trois points A, B 

 et C, on détermine un quatriéme point X>, qui se relie harmo- 

 niquemeiil aux points donnés, puis un point harmoniquement 

 relié a trois quelconques des points précédents , et ainsi de 



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