338 Johannes Petersen. 



d'ou Ton a précisément: 



(J,\a -f eb) = <p{a) + eb </>' la). 

 On prouve également avec facilité que l'applicabilité de la for- 

 mule aux fonctions f et F la rend applicable aussi a la fonc- 

 tion f(F(z)): 



<p[z) = f(F(z)) = f(F(a) + ebF'(a)) 



= f(F(a)) + e • bF'(a)f{F(a)) c. q. f. d. 



Si l'équation (1) s'applique a tine certaine fonction f, elle 



s'applique aussi a la fonction inverse f x ; en effet, si l'on pose 



f l [a^ r eb) = u -\- ev , u et v sont déterminées par l'équation 



f[u-\~ ev) = f(u)-\-evf'(u) = a-\-eb\ par conséquent f(u) = a, 



vf(u) — b ou bien u = f x (a), v = = &/*((«), c. q. f. d. 



cos z, sin 2, e 2 se définissent au inoyen des développements 

 connus, qui donnent: 



cos (a -\- eb) = cos a — eb sin a 

 sin [a -j- eb) = sin a -j- efr cos « 



ga+sb _ go _|_ g J g o _ 



L'équation il) s'applique done tant a ces fonctions-la qu'aux 

 fonctions inverses arc cos c, arc sin 2 et log. z. 



48. Si l'on a une équation algébrique ile n iéme degré 



f[z\ + e<p{z) = 0, 



011 /' et <p sont des fonctions rationnelles entiéres, et si nous 



cherchons toules les racines de la forme a-\-eb, on a, en 



substituant cette grandeur: 



f(a) -\- ef{a) -\- eb f{a) = 0, qui se divise en deux: 

 f(a) = 0, f(a) + bf(a) = 0; 

 par conséquent, il y a ordinairement n racines. 

 Toutefois il faut noter spécialement que : 

 L'équation algébrique du n iéme degré f(z) = 0, ou tous 

 les coeflicients ont la forme a-f/31 7 — 1, a et ft étant reels, 

 a n racines (les racines complexes ordinaires). Cependant, si 



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