— 
Note sur le probléme des nombres premiers. 23 
est évidemment insuffisant. Mais personne, que je sache, n'a 
jusqwici entrepris de trouver directement par voie élémentaire 
des limites pour la quotité des nombres premiers inférieurs å 
une limite donnée. C'est ce que j'ai essayé de faire pour la 
limite 2”, et un premier essaåi a toujours une certaine valeur 
méme quand il ne réussit pås. Au reste le résultat obtenu est 
correct comme je le démontre dans la suite, et j'ai lieu de 
croire que mon procédé pourra étre utile dans d'autres cas 
encore, méme s'il ne suffit pas pour atteindre le but principal. 
Dans' la deuxiéme partie, je donne une petite modification 
du procédé de Tchebycheff, qui montre que les limites de 
la fonction Ø(n) obtenues par cet auteur peuvent étre un peu 
resserrées, fait qui toutefois est plus curieux que vraiment utile. 
1. 
La suite des nombres premiers se déduit de la suite des 
nombres naturels par la méthode du crible. Pour rendre cette 
méthode applicable å d'autres suites de nombres, je considére 
d'abord la série 
Å == 1 254 3 4 5... 
dont les termes sont les nombres naturels affectés de 1'expo- 
sant —S qui, pour rendre la série convergente, est supposé 
réel et >Il, mais au reste n'est introduit que pour pouvoir 
faire la somme de la série totale. La série qui restera, quand 
on aura effacé tous les termes dont la base est divisible par 2, 
s'obtient donc simplement en formant le produit 
(I — 2—) Å = 1—+ 3 + 5 7 9 
Pareillement on fait dispåraitre le nombre premier 3 en multi- 
pliant pår 1 —3—, et ainsi de suite. En poursuivant å Vinfini, 
on aura, comme on sait, 
Å + (1 — 27) (1 — 37) (1 — 57) (1—7>7) … — 1, 
les nombres qui entrent dans les facteurs du premier membre 
étant tous les nombres premiers. 
3 16% 
