Mémoire sur les équations différentielles linéaires, etc. 459 
intégrales abéliennes 7%; sont transcendantes. Dans la méme 
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supposition relative au déterminant D(u,, vw, ) que 
ci-dessus, on voit que e””: est une fonction rationnelle des 
intégrales abéliennes 7',, T,,... et de leurs dérivées, d'ou 
réæésulte, d'aprés un théoréme donné par M. Konigsberger (Allge- 
meine Untersuchungen aus der Theorie der Differentialgleichungen 
p. 49), que e7: est algébrique; je la désignerai par S,. Soit 
TE — | Sida fi 2 Billsøsk 
S, satisfait å une équation algébrique F — 0 supposée 
irréductible; soit ($,) une autre de ses racines. (S,) étant 
comme &S, intégrale particuliére, il faut quw'elle s'exprime 
linéairement pår &;, &, ...; maåis on sait (voir par exemple 
le mémoire cité de M. Julius Petersen) qu'une combinaison 
linéaire. de 49, 44... ne, peut pas étre algébrique, donc 
(S,) = cS,. Comme ($S;) est une quelconque des racines de 
F—=0Q, il enrésulte que S, est racine d'une fonction rationnelle. 
Formons maintenant l'équation linéaire d'ordre »m» — 1 aux 
intégrales particuliéres 
d 12) d (i) 
aBÅE Sj fejes 9 dx u, - 
V 
Les coefficients de cette équation sont des fonctions ration- 
nelles et les intégråles indiquées ont les valeurs 
TS So, 
ve = $, + 8,7, 
vv, =58$,+ ST, + Sy T, + 173 Se, 
on voit immédiatement qu'elles forment un seul groupe. 
Par le raåaisonnement que nous avons employé ci-dessus 
nous parvenons au résultat que S, est racine d'une fonction 
rationnelle. Formons I'équation linéaire d'ordre » —2 å coef- 
ficients rationnels et aux intégrales particuliéres 
4 (22) 2 (ev 
SE RE er] 
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