Mémoire sur les équations différentielles linéaires, etc. 475 
P étant une fonction rationnelle. On peut toujours s'ar- 
ranger de telle sorte qw'il n'y ait pas dans P de partie entiére. 
Dans la suite je supposerai que P ait cette forme. On doit 
avoir 
Nous voyons facilement quwun påle de v d'ordre » sera 
pour P un påle dordre 27, donc il faut que les ordres des 
påles de P soient des nombres entiers pairs.  Inversement 
un påle d'ordre 2r de P sera pour ø un påle d'ordre r. Les 
påles de w autres que les påles de P sont nécessairement des 
poles simples au résidu 1. Désignons par R(x) la partie de c 
relative aux påles de P; nous aurons 
1 
72 
p—=— R(7) + X 
les 2 n'étant pas des points singuliers de P, On a pour R(x) 
Ar Pia Ef me: FEED 
(r—a)" " (1r—4)! ” x—0. 
1 
(7) -= 3 
øelant un påle de Pde degré 2 k.… "Il n'y”a pas dans” ø' "de 
partie entiére d'aprés V'hypothése faite sur le point å Vinfini. 
Les ÅA étant déterminés de proche en proche par substitution 
dans l'équation proposée, on pose 
|Rdx 
U == V.E? 
2 
v satisfera å une équation linéaire du second ordre å coeffici- 
ents rationnels; donc on aura å reconnaitre si celle-ci admet 
un polyndme pour intégrale particuliére; ce polyndme sera 
égal au produit des facteurs z — /. 
15. Je commence les applications par V'équation de Riccati 
du (" AE) ) 
— U MESTE + hy: 
dæ? æ? 
Cette équation a été considérée par Liouville (Journ. de 
Mathém., 1841), qui a démontré que la condition nécessaire et 
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