H.-G. Zeuthen. 
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Barrow suppose que B- DF, ou R est constant, est égal å 
Vaire VDE limitée par V'ordonnée correspondante DE. Il résulte 
alors des considérations cinématiques précédentes que la sous- 
i D 
tangente DT' de la courbe IF'I aura la valeur BER Bar- 
row démontre la méme chose géométriquement en faåisant voir 
que la droite FT joignant le point F au point T7' de Vaxe des 
abscisses dont la distance au point D a cette valeur est tangente 
en F å la courbe IFI. Il le prouve en montrant que les points 
I de cette courbe qui sont voisins de F de part et d'autre de 
ce point se trouvent du méme cåté de la droite TF. 
Menons, en effet, une droite IK paralléle å V'axe des 
abscisses et rencontrant FT' en K et DF en L. Alors, d'aprés 
les propriétés des deux courbes, Vaire PDEG sera égale å 
R-LF. D'un autre cåté on déduit des proportions 
BESAD TAARE 
LE JES RERIDE. 
que 
LK-:DE << R-LF —<. PDEG. 
Or PDEG EN IL.DE et par conséquent KL S 161 
suivant que Å se trouve de V'un ou de Vautre coté de F. La 
figure montre le reste. La démonstration exige seulement que 
Vordonnée DE ne soit ni maxima ni minima. Elle montre du 
reste comment le sens de lå concavité de la courbe VIFI 
dépend de la forme de la courbe VGEG. 
Ce théoréme, qui exprime de la maniére la plus simple le 
caractére inverse de la quadrature et de la détermination des 
tangentes, est suivie par d'autres qui se rapportent å d'autres 
applications géométriques de la méme réciprocité et qui dé- 
pendent en outre de quelques régles simples de quadrature. 
Citons les suivantes; om nous désignons par y et v les ordon- 
nées de deux courbes qui correspondent å la méme abscisse 
et par 59, et 5, la sous-tangente et la sous-normale de la pre- 
miére courbe (y); Vaire de la courbe (v) désignera Faire limitée 
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