Die Variationskurve in der Biologic. 21 



Zunächst ist festzustellen, daß sich alle späteren Autoren auf 

 diesem Gebiete mehr oder weniger streng an die von Quetelet und 

 Galt on gelieferte mathematisch-geometrische Grundlage halten; einige 

 verfahren dabei zwar kritisch, ändern aber doch schließlich nichts 

 Wesenthches. Es genügt also, dieses allgemeine Verfahren hier zu 

 besprechen. Nehmen wir, um uns konkreter ausdrücken zu können, 

 ein ganz spezielles Beispiel, etwa die Zahl der Blütenblätter einer 

 Komposite, so wird durch Zählung an einer großen Zahl von Indi- 

 viduen, etwa 1000, ermittelt: wieviel Blüten weisen ein, wieviel zwei, 

 wieviel drei Blätter auf und so fort bis zum Maximum, sagen wir 

 einmal hundert Blättern ? Es wird also jeder Zahl von Blütenblättern, p, 

 die Anzahl der Individuen, n, zugeordnet, die jene Zahl p aufweisen; 

 und es wird nun die entsprechende Kurve gezeichnet, mit den p auf 

 der (horizontalen) Abszissenaxe, mit den n auf der (vertikalen) Ordi- 

 natenaxe; man erhält so eine Reihe von Punkten, die man zu einer 

 Kurve, der Variationskurve, verbindet. Das ist eine rein empirische 

 Kurve, und darüber ist natürlich gar nichts zu sagen. Dieser Kurve 

 wird nun die theoretische, die Wahrscheinlichkeitskurve gegenüber- 

 gestellt, und beide werden miteinander verglichen. Als theoretische 

 Kurve wird nun von den Biologen allgemein die sogenannte Binomial- 

 kurve genommen, d. h. die Kurve, deren Ordinaten den Koeffizienten 

 der Entwickelung eines zu irgend einer Potenz erhobenen Binoms ent- 

 sprechen. Also z. B. 



(a -|-b)- ^ a- -)- 2ab -)-b2, Koeffizienten: i — 2 — i 



(a-|-b)3 = aä-|-3a2 b -|-3ab- + b^. Koeffizienten: 1—3 — 3—1, 



und so geht das fort, bis man bei einer hohen Potenz eine aus vielen 

 Gliedern bestehende Reihe von Koeffizienten erhält. Diese Reihe ist, 

 wie man schon an den obigen Beispielen erkennt, eine symmetrische 

 Doppeltreppe, zuerst aufsteigend, dann wieder abfallend. Wie die 

 Biologen gerade auf diese Kurve gekommen sind, ist mir nicht ganz 

 klar geworden; ich vermute, daß sie diese Grundlegung, weil sie 

 elementar-mathematisch ist, der wahren vorgezogen haben, die vom 

 Charakter einer Exponentialfunktion mit negativ quadratischem 

 Exponenten 



y = e ''" 



ist, wo e rund 2,72 (Basis der natürlichen Logarithmen) ist. Immerhin 

 macht das nicht viel aus, da sich die Binomialkurve der Exponential- 

 kurve immer mehr näliert, je höher man die Potenz wählt; wenn man 

 z. B. die zehnte Potenz wählt, so erhält man die Koeffizientenreihe 

 I — 10 — 4S — 120 — 210 — 252 — 210^120 — 45 — 10 — I, 



