Die Variationskurve in der Biologie. 23 



Praktisch wird es auch nichts ausmachen, wenn der Mittelwert von 

 null abweicht, wenn er z. B. lo ist; dann wird eben der Wert 20 

 ebenso wahrscheinlich sein wie der Wert null, und der Wert plus 100 

 ebenso wahrscheinlich wie der Wert minus 80; immer unter der Vor- 

 aussetzung, daß beiderseits den möglichen, wenn auch vielleicht äußerst 

 seltenen Individualwerten keinerlei Schranken gesetzt sind. 



Noch eine Bemerkung ist über diesen symmetrischen Fall hinzu- 

 zufügen. Der wahrscheinlichste Wert einer symmetrisch verteilten 

 Größe ist zugleich ihr Mittelwert; denn durch die Gif)felordinate 

 wird die ganze von der Kurve und der Basis begrenzte Fläche 

 in zwei gleich große Teile geteilt, und das ist bekanntlich das 

 Charakteristikum des Mittelwertes. Die ersten Arbeiter auf dem 

 biometrischen Gebiete haben hier die Unterscheidung zwischen Mittel- 

 wert und Durchschnittswert gemacht (moyenne und mediane, englisch 

 average); dabei soll der Durchschnittswert für eine Größe gelten, 

 deren Einzelwerte alle gleich oft vorkommen, ob sie nun extrem seien 

 oder nicht, oder deren Einzelwerte doch ganz regellos verteilt sind. 

 Dieser Fall hat aber, da er sich keinen Gesetzen unterwirft, gar kein 

 Interesse; und dem wirklich interessanten andern Falle wird man eben 

 vollkommen dadurch gerecht, daß man sagt: der Mittelwert ist zugleich 

 der wahrscheinlichste (das ist der bloße Durchschnittswert offenbar 

 nicht). Wenn ich z. B. mit einem Würfel würfele, so ist der Durch- 

 schnitt dessen, was ich werfe, 3%, aber deshalb sind nicht etwa die 

 Würfe 3 und 4 die wahrscheinlichsten, alle andern sind genau ebenso 

 wahrscheinlich. Wenn ich dagegen mit zwei Würfeln spiele, so ist der 

 Wurf 7 nicht ein bloßer Durchschnittswert (im Sinne von Quetelet), 

 sondern ein wirklicher Mittelwert; richtiger ausgedrückt in unserm 

 Sinne : er ist zugleich auch der wahrscheinlichste Wert, da er sechsmal 

 vorkommt, wo der Wurf 6 oder 8 nur fünfmal, 5 oder 9 nur viermal, 

 4 oder 10 nur dreimal, 3 oder 11 nur zweimal und 2 oder 12 gar nur 

 einmal vorkommen. Also nochmals betont: bei der symmetrischen 

 Variationskurve ist der wahrscheinlichste Wert zugleich auch der 

 Mittelwert. 



Ganz anders, wenn es sich um eine Größe handelt, die einseitig 

 begrenzt ist oder auf der einen Seite enger begrenzt ist als auf der 

 andern. Der wichtigste, weil ungeheuer häufige, hierher gehörige Fall 

 ist der einer Größe, die ihrer Natur nach positiv ist, also z. B. 

 die Körperlänge eines Menschen, die Zahl der Blumenblätter, die 

 Kinderzahl einer Ehe und hunderterlei anderes. Hier ist für die 

 Variation von vornherein die Bedingung der Asymmetrie gegeben, 



