100 FAISCEAUX DE COURBES PLANES. 
cidences. Il en suit que la droite PA touche la polaire dp 
en A. 
Soient P et Q deux points quelconques. Les polaires Pp et By 
auront en commun les n? points de base et les 2(n — 1) coinci- 
dences de Vinvolution marquée sur la droite PQ. 
Il est clair que les intersections restantes se trouveront dans les 
points doubles du faisceau. !) 
Donc, il y a, dans le faisceau, 3 (n — 1)? courbes à point double *) 
$ 2. Aux points de la droite PQ il correspond un faisceau de 
polaires dont les pôles sont situés sur PQ. 
Supposons que la polaire #, ait un point double D. Les polaires 
du faisceau dont les pôles se trouvent sur DS, seront touchées 
en D par cette droite. L’involution marquée sur DS aura un 
point triple en S, de sorte que la courbe c* menée par S aura en S 
un point d’inflexion. 
Réciproquement, chaque point d’inflexion d’une c” se confond 
avec un point double d’une polaire. Par suite, le röseau des 
polaires ne contient qu’un système simplement infini de courbes 
à point double. 
Donc, la polaire $, est, en général, une courbe de la classe 
(2n — 1) (2n — 2). 
Du pôle P on peut mener à æ,, à l'exception des n? droites 
PA, 3n (n — 2) tangentes. 
Donc les tangentes d'inflexion d'un faisceau du n° degré enveloppent 
une courbe de classe Bn (n — 2). 3) 
Considérons la polaire D, du point de base A. Puisque l’invo- 
lution définie sur une droite ménée par A ne fournit que 2n —4 
points de ®,, cette courbe aura un point triple en A. 
Il en résulte que trois courbes c* ont un point d'inflevion en A. 
De plus, on en déduit que par A on peut mener 3n (n — 2) —9 
tangentes à &.. 
Donc, chaque point de base est situé sur 3 (m — 3) (n + 1) tangentes 
d’inflexion. 
1) Comp. WEyR Le. 
*) STEINER (Journal f. Math. 1853). Un faisceau de courbes de genre p à o 
points de base, à tangentes variables, possède (6 + 4 p — 1) courbes à point 
double (CAPORALI). 
3) WEYR, |. c. 
