104 FAISCEAUX DE COURBES PLANES. 
bitangentes, 3(n+ 1)(n—3) tangentes simples (tangentes d’in- 
flexion de courbes c”) et (x? —1) tangentes multiples d’orde 
(n — 3). 
La courbe des inflexions. 
§ 8. Le lieu des points d’inflexion, J, du faisceau (c”) passe 
trois fois par chaque point de base. Parce qu’une c” générale 
possède 3n(n— 2) inflexions, elle aura en commun avec le lieu 
(I) 3n (n — 2) + 3n? points. Done, le lieu (7) est une courbe du 
degré 6(n—1), douée de n? points triples 
Les 3(n—1)* points doubles du faisceau sont aussi des points 
doubles de (1). Puisqu’en un tel point se confondent six intersec- 
tions des courbes c” et (I), elles y ont les mêmes tangentes. 
Il va sans dire que (7) ne saurait avoir d’autres points doubles. 
Afin de démontrer qu'elle ne possède pas de points de rebrousse- 
ments, on peut déterminer son genre en faisant usage d’une 
relation bien connue, due à M. ZEUTHEN. !) 
Supposons qu’il existe entre les points de deux courbes c et 
c' une correspondance où chaque point P de ¢ correspond à /” points 
P' de «, tandis que chaque point P’ détermine /? points P. Sup- 
posons, de plus, qu'il arrive 7’ fois que deux points P’ coincident 
et y fois que deux points P se confondent. Alors les genres p et 
p’ des deux courbes sont liés par la relation 
2 (p—1)— 22 (p'—1) =y— 7. 
/ 
Soit P’ le point d’intersection d’une droite quelconque c' avec 
la tangente d'une €” en un point de base. Considérons la corres- 
pondance entre P’ et les 3n(n— 2) points d’inflexion P de la c’. 
Alors on a 
P = 3n (n — 2), i =U BRU p'—=0, 
et, par suite, 
y =2(p—1) + 6n (n — 2). 
Il s’agit maintenant de déterminer le nombre 7. 
Si une c* possède un point d’undulation, de sorte qu’elle ya un 
contact quadriponctuel avec sa tangente, on a affaire à deux points 
P confondus. 
1) Math. Annalen, 1870, t. 3, p. 150. 
