FAISCEAUX DE COURBES PLANES. 105 
Puis, chaque point double de (1) absorbe un certain nombre 
de points P confondus. On peut le déterminer en considérant un 
faisceau de cubiques. 
En effet, puisqu’un point de rebroussement de (J) ne saurait pro- 
venir que de la coincidence de deux inflexions, ce qui ne peut pas 
avoir lieu sur une cubique, la courbe des inflexions d’un faisceau 
(ce?) possède un nombre de points singuliers qui équivaut à 9 x 3+ 
+ 12—39. Donc, elle est du genre p—4x11x10—39= 16, 
Par conséquent, on a y=2x15+6x3=48. Il en résulte que 
chaque point double d’un faisceau absorbe quatre couples con- 
fondus de la correspondance. 
$ 9. Afin de déterminer le nombre des points d’undulation, il 
nous faut considérer une courbe auxiliaire, lieu des groupes de 
3n (n — 2)(n— 3) points V que les courbes c” ont en commun 
avec leurs tangentes d’inflexion. 
Parce qu'en un point de base il se croisent 3(n +1) (n—3) tan- 
gentes d’inflexion, le lieu (V) passe autant de fois par les points 
de base. Par suite, il a en commun avec une c” du faisceau 
Bn (n — 2) (n — 3) + 3n? (n + 1) (n — 3) points. Donc: 
La courbe résiduelle (V) est du degré 3 (n — 3) (n? + 2n — 2); elle 
possède n° points multiples d'ordre 3 (n + 1) (n — 3) !). 
Si lon fait se correspondre les points J et V d’une même tan- 
gente d’inflexion, les rayons OJ et OV d’un faisceau de droites, 
à centre O, se rangent en une correspondance avec les nombres 
caractéristiques 6 (n — 1) (n — 3) et 3 (n — 3) (n? + 2n — 2), 
Chacune des 3n (n — 2) tangentes d’inflexion issues de O repré- 
sente (n — 3) coincidences de cette correspondance. Les coincidences 
restantes, au nombre de 6(n—1)(n—3) + 3 (n—3)(n? + 2n — 2) — 
— 3n (n — 2) (n — 3) = 6 (n — 3) (Bn — 2), proviennent d’autant de 
coincidences [= V. 
Dans un faisceau (c") il y a 6 (n — 3) (Bn — 2) courbes douées d'une 
EN 
tangente à contact quadriponctuel ?). 
$ 10. Comme on a vu, chaque point double du lieu (J) contient 
quatre couples coïncidants de points P correspondant à un point 
P' de la droite auxiliaire c’. Done, on a y —6(n— 3) an — 2) + 
De. DE VRIES, 1. C. p. 752. 
*) J DE Vries, Versl. K. A. v. W. Amsterdam, 1906, t. 14, p. 844. 
