FAISCEAUX DE COURBES PLANES. 107 
(n — 3) (n + 4) bitangentes. Parce qu’une c” générale possède 
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yr m — 2) (n? — 9) tangentes doubles, le lieu (7) a en commun 
avec une c* quelconque n° (n — 3) (n + 4) + n (n—2) (n? —9) points. 
Par conséquent, la courbe bitangentielle est du degré (n—3) 
(2n? + En — 6). !) 
Les points doubles D du faisceau sont en même temps des points 
multiples de la courbe (7). 
En effet, par un tel point on peut tirer (n? — n — 6) tangentes 
à la courbe c” qui y passe; puisqu’une telle droite est une bitan- 
gente impropre, les points D sont des points multiples d'ordre 
(n — 3) (n + 2). 
A l'exception de leurs intersections situées en les points doubles 
D et les points de base A, les courbes (T).et (J) ont en commun 
6 (n — 1) (n — 3) (2n? + 5n — 6) — 6 (n — 1)? (n — 3) (n + 2) — 
3n? (n + 4) (n — 3) = (n — 3) (3n° + 6n? — 48n + 24) points. 
On peut le vérifier en observant que les deux courbes se touchent 
aux points d’undulation, tandis qu’elles se coupent en les inflexions 
dont la tangente touche la c” correspondante ailleurs. En effet, on a 
12 (n — 3) (8n — 2) + 3 (n — 3) (n — 4) (n? + 6n — 4) = 
= (n—3) (8n3 + 6n? — 48n + 24). 
§ 13. Considérons le lieu des points W qu’une c” a encore en 
commun avec ses bitangentes. 
Parce qu’un point de base porte 2 (n —4) (n—3) (n +1) bitan- 
gentes, la courbe (W) passe autant de fois par les points de base. 
Le nombre de ses intersections avec une c” du faisceau égale done 
2n? (n — 4) (n — 3) (n + 1) + +n (n—2) (n? — 9) (n — 4). 
La cowrbe résiduelle (W) est du degré 
5 (n—4) (n — 3) (5n? + 5n — 6). ?) 
Par la correspondance entre les points T et W d’une même 
bitangente, les droites du faisceau O se rangent en une correspon- 
dance avec les nombres caractéristiques (n— 4) (n — 3) (2n? + 5n—6) 
1) P. H. ScHouTE, Wiskundige Opgaven, 1886, t. 2, p. 307. 
2) J. DE VRIES, l.c. t. 13, p. 751. 
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