LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 143 
Soient #,, G,, 9, des vecteurs unité orientés de sorte que 
Alors, on aura évidemment encore 
%,=[(6,9,] et G6,=[9, 51] 
Soit D — 5 + C. 
Alors on a 
PED] — fl B] + PS). 
Pour le démontrer, observons en premier lieu que le tenseur 
d’un produit vectoriel peut être représenté par l’aire du parallé- 
logramme défini par les deux vecteurs. 
Par suite, les tenseurs des trois produits vectoriels sont propor- 
tionnels aux hauteurs b, c, d des parallélogrammes correspondants, 
le vecteur A étant considéré comme la base. Il est visible que d 
est la diagonale d’un parallélogramme dont b et c sont deux 
côtés adjacents. Or il suffit de faire tourner ce parallélogramme 
autour de l’axe U, de manière que tout point décrit un quart 
de cercle, pour obtenir trois vecteurs proportionnels aux vecteurs 
LD], [AB] et [UG]. 
Donc, on aura [4,8 + ©] = [AB] + [AC]. 
S'il s’agit de vecteurs variables, nous aurons visiblement 
DS RSI PET 
§ 4 Considérons encore le produit scalaire défini par 
S=(A[BE)). 
Posons [BE] =D. Alors on a 
D = B C'sin (B, 6), 
S= A D cos (A, D). 
Or, A cos (A, D) représente la hauteur du parallélipipède défini 
par les vecteurs U, B, ©. Par suite, la quantité scalaire S repré- 
sente le volume de cette figure. 
En particulier, la relation 
( [BC]) — 0 
exprime que les trois vecteurs sont complanaires. 
Donc, elle est équivalente à la relation 
aU +58B+yC—0. 
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