144 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 
Courbes gauches. 
$ 5. Une courbe de l'espace est le lieu des points P dont les 
coordonnées cartésiennes %, y, z sont des fonctions continues d’une 
variable ti; nous supposerons ces fonctions développables par la 
formule de TayLor aux environs de toute valeur ¢ comprise dans 
un certain intervalle, sauf de certaines valeurs isolées. 
Soient, de nouveau, X,, B,, ©, des vecteurs unité ayant la 
direction des axes OXY, OY, OZ de sorte que ©, = [2, 3, ]. 
Soit % le vecteur OP. Alors on a . 
SM ty, 20. 
Joignons le point P à un point voisin P*, pris sur la courbe, 
défini par la valeur {+ h du paramètre ¢. Soit ©, un vecteur 
unité avant la direction PP*. On aura 
d'où l’on trouve 
NT — s . G 
lim eG, lm 
(=0) h (h=0) fb 
Puisque le quotient G:h tend vers la dérivée de l’arc s, on 
obtient 
ov d Ay 5 ds 
2) dr dt = " dt 
/ 
Le vecteur % a visiblement la direction de la tangente en P. 
En particulier, si le paramètre t est l’arc de la courbe, le 
vecteur unité de la tangente est défini par 
ds 
ata ae oo ee 
Sy, 
Ÿ 
Soit 9 le vecteur OQ d'un point Q (&,n,5) de la tangente; on 
aura 
Cela revient à 
(E23 x) MN, + (nyy) B, + C—z2—Az) ©, —0, 
équation qu’on ne peut vérifier qu’en posant 
E—x— x — 0, 
n—y—Ày =), 
EG == (0), 
