150 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 
à une certaine valeur de wv, de sorte que les dérivées (’ et 9,’ 
sont constantes. Alors le plan tangent tournera, en général, autour 
de la génératrice. 
$ 13. Cherchons en quels cas ce plan reste invariable, si le 
point de contact décrit une génératrice. 
D'abord, si l’on a &—0, le vecteur %, aura la direction du 
vecteur 9,’, de sorte que les plans tangents de tous les points d’une 
génératrice coincident. 
C’est le cas d’une surface conique dont le sommet est déterminé 
par © = const. 
Si 9,’=0, le plan tangent est déterminé par les vecteurs $ et 
9,. Parce que 9, a une direction constante, on a affaire à une 
surface cylindrique, ayant pour directrice la courbe ©. 
Finalement, il nous faut considérer le cas où les vecteurs 6, 
9, et 5,” sont complanaires, de sorte que le plan tangent, étant 
déterminé par les vecteurs 9, et ,’, est indépendant du valeur 
de u. 
Soit alors 
HAN, Tue OR) 
où A et u seront des fonctions de ®. 
En différentiant l’équation (12) 
%=6+uS, 
par rapport à la variable v, on obtient 
D — © +uÿ,’. 
ou, en tenant compte de (13), 
DO FUN: 
Considérons maintenant, sur la surface, la courbe définie par 
la condition 
u+u—= 0. 
Pour ses points P, on a 
5 eel QC OR en 
Done, au lieu de déterminer le plan tangent par les vecteurs 
9, et 9,,, on peut le définir par les vecteurs %,’ et %,”. Cela 
revient à dire que le plan tangent coincide avec le plan oscula- 
teur de la courbe qui est le lieu des points Py. 
Par suite, toute surface réglée dont le plan tangent reste inva- 
