152 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 
Représentons ce produit scalaire par p (s). 
Si M est un point de l'intersection du plan normal de P avec 
le plan normal du point voisin, défini par la valeur s + h de 
are, le vecteur M vérifie les équations 
p (s) —0 et Psa ie) EU 
En faisant tendre vers zéro l’accroissement h, on arrive aux 
équations 
p (s) =0 et DRS: 
Done, le vecteur d’un point M de la caractéristique du plan 
normal, ou droite polaire, doit satisfaire à l’&quation qu’on obtient 
en différentiant, par rapport à s, la relation (15). 
On trouve 
1 eres i et : 
Cie 5) B) (7) EN; 
ou 
(RPB). posters te HIE 
De cette équation, il résulte que la projection orthogonale du 
vecteur PM sur la normale principale est égale à oe, de sorte que 
la droite polaire est perpendiculaire à la normale principale; donc, 
elle est parallèle à la binormale. 
La surface réglée engendrée par les droites polaires est done 
définie par 
MY + OD PUB une erkers order AO) 
Il va sans dire que cette surface polaire est développable. 
Pour le vérifier, appliquons (14). 
On aura 
+ B 0 
OG =F + oP +e, =} = ie +e B, 
kl 0 N of 0 
S=— (B, —£3,) BBI) EBV) — or BD) = 0 
Donc, les droites polaires sont les tangentes d’une certaine 
courbe, l’arête de rebroussement de la développable. 
Parce qu’on a 
0 0 
MM inne: B, Ho B, + ud,’ Se a (a 
on obtient l’aréte de rebroussement en posant u — — 9’ 7 (comp. 
avec $ 15). 
