LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 157 
Nau —À Bu + u D 
ot 
Nip = 0 But 6 Vo, 
où À, u, oe, « sont des fonctions de u et v. 
De la première de ces relations, on déduit, par multiplication 
scalaire avec %, et %,, le couple 
(My u Fu) = | Bu E + u (Fu RR | 
(Ni Fo) =M( Eu Do) + | De |?- | 
Donc on a le système 
Ku — À Ou ru we ’ 
—L—=AE +uF, 
—M=AF +uG. 
En éliminant À et «, on trouve facilement 
H? Ny, = (FM — GL), + (FL—EM)%,..... (46) 
D'une manière analogue, on aura 
HW, = (FN — GM) §, + (FM— EN)¥, .... (47) 
Courbure des lignes tracées sur une surface. 
§ 20. Considérons une courbe définie par les relations u— (s), 
v= y (s), où s désigne l’arc. 
Soit @ langle que fait la normale principale à la courbe avec 
la normale à la surface. On aura visiblement 
cos 0 = (MN, B) =o (M, Ty’) =e Ì, 37). 
Or, on a 
ey = Bun? + 2 Bw WV + FrV? + HU" + Hr”. 
ds? 
Puisque 
(Ny Su) =0 et (N, Br) = 9, 
on trouve 
cosO =o (Lw?+2Muw'v'+ Nv’), 
ou bien 
cos 6 _ Ldu? + 2M du dv + N dv? 
0 Edu? +2Fdudv+ Gd? 
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