164 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 
$ 26. Considérons un système triple orthogonal de surfaces. 
Soit 
& =f (u, v, w). 
Supposons que les surfaces que l’on obtient en donnant succes- 
sivement à u, v et w des valeurs constantes, se coupent à angle 
droit tout le long de leurs courbes communes. 
Alors on a visiblement 
(Su dr) — 0, (8: Ow! = 0, (Bw Du | = 0. 
On en déduit, par différentiation, le système d’équations 
(Bu Bow) a (Fo du) == 0, 
(Ye Bun) Ir (Sw Sw) = 0, \ 
(du dur) “x (Fu Dre) 0 ] 
Il en résulte qu’on a 
(Gu Bou) — 0, (Fe du) — 0, (Sw Fur) = 0. 
Or, les trois relations 
(Bw Fw) =9, (Sw Fu) =9, (Sw Fe) = 0 
montrent que les vecteurs 
Bw» du et Do 
sont complanaires. 
En conséquence, les intersections de deux surfaces u — const., 
v =const. avec une surface w — const. sont des lignes de courbure 
de la dernière surface. 
Done, les surfaces d’un systéme triple orthogonal se coupent 
suivant leurs lignes de courbure (Dupin). 
Réseaux conjuguées. 
§ 27. Supposons que le réseau des lignes coordonnées u = const. 
x 
et v — const. satisfasse à la condition 
ee a (65) 
Elle fait voir que, tout le long d’une courbe u = const., les 
vecteurs 
G = Dus O, = Suv et Br 
sont complanaires. 
