166 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 
ou encore 
Ldada + M(dadf + da) + Ndf0/3—0 . .. (68) 
Il est visible que cette relation permet de définir, par une 
équation différentielle, le système de courbes qui est conjugué à 
un système donné. 
Lignes asymptotiques. 
§ 29. Eu égard à l'équation (66), la relation 
Lu 2 Mid dei N du =O), ae Oo) 
définit, sur la surface À — f (u,v), deux systèmes de courbes qui 
sont caractérisées par la propriété que leurs tangentes engendrent 
une développable circonscrite à la surface. 
En d’autres termes, en tout point de ces courbes, nommées 
lignes asymptotiques, le plan osculateur se confond avec le plan 
tangent à la surface. 
Parce qu'on a maintenant, en vue de (67), 
IE ee a ( 7/0)" 
on obtient, en différentiant l'équation 
u), 0, 
le couple de relations 
(x, EN | (x, ay) = (0, 0.) a 
ds? 
d’où il résulte, de nouveau, que le plan osculateur touche à la 
surface. 
Réciproquement, si le plan osculateur d’une courbe de la sur- 
face se confond avec le plan tangent, de sorte que les relations 
(71) sont vérifiées, la relation (70) est également vérifiée. Par 
suite, les tangentes de la courbe engendrent une développable 
circonscrite à la surface. 
Si l’on prend les lignes asymptotiques pour courbes coor- 
données u = const., v—const., on aura, en vue de (69), L—0 
et N — 0, ou bien 
(=o à (x, HE) 0 NBA ey 
1 ou? av? 
Cela s'accorde visiblement avec (71). 
