LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 167 
Courbes géodésiques. 
§ 30. Considérons, sur la surface ¥ — f (u, v), une courbe dont 
le plan osculateur contient la normale de la surface. 
Cette propriété s'exprime visiblement par une relation de la 
forme 
ee de She DU es ae Ts (73) 
En désignant par w, u/ et vw’, v” les dérivées du premier et 
du second ordre, par rapport à {, on peut remplacer cette relation par 
NM, —/|) (Fu w + Do v) Sr (Fun uw? + Fun wy + ov yr + Vu Whe a= À v”). 
Par la multiplication scalaire avec les vecteurs #, et #,, on en 
déduit le couple d'équations 
O—A(Eu + Fv’) Hu Bud) Ww? + 2 (Fo B) WU + (Doo DV? + Eu” + Fe", | 
De (Fu ie tv’) u Bau 3) w2+9 (Fu 5) a + (Bar 3,)v? ne Gut. | (74) 
Or, en différentiant les équations 
Gus) =L, Hi) = 
par rapport à w et v, on trouve 
LEE) BB) + Ge Bu) = Fo LED) | gs 
2 (Gun Fa) — Le, Swe) + (Gu Fu) = Fy 2 Fw F)—=G | À 
Finalement, on déduit des équations (74) et (75), l'équation 
) q ) | 
Qu’ + Fy’, Eu’+Fv'+1E,u?+E, uv + (FF, —bG.)v? 
: à ; — 01016 
Fw + Gov’, Fu’ + Go’ +(F,,— tH, w? + Gu’ + 1G, ef? ini?) 
En prenant pour variable indépendante le paramètre w, cette 
yg £ i dv d?v +1. 
équation donne une relation entre m et due: Donc, elle définit 
L Mu 
un systéme doublement infini de courbes 
On les nomme les géodésiques de la surface. 
§ 31. Afin que les courbes v—const. soient des géodésiques 
2 1 , 
il faut que (76) soit vérifiée en posant u’—1, w”—0, v’—0, 
v’ —0. Par suite, on obtient la condition 
EF EE — EF =0. 
Si l’on suppose, de plus, que les courbes w= const. soient les 
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