102 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 
et, par suite, 
SHOP Jig [ x, =] (80) 
Done, le vecteur N® est collinéaire avec le vecteur #,. 
Cela revient à dire que la normale à la nappe /'" est parallele 
à la tangente de la ligne de courbure correspondante. 
§ 37. Considérons [expression 
Mo — (a ae) | 
du av 
En differentiant 
à M 90, 
Dr 7 
on trouve 
32 DO do, „de an, ak eg woh on; ae 
dudv wv | Au AV vum! 0, dW AV 
A (1) . 
D'après (85), N, est proportionnel à %,. Parce que &, est 
perpendiculaire à N, et à $,, on obtient 
92 MM 
eer) ee OU EMO: 
En conséquence, les courbes le long desquelles une nappe de 
T est touchée par deux normalies de différentes familles, sont 
conjugées. 
§ 38. Pour le carré de l'élément linéaire de 7, on a 
5 a PEM 2 à Mi IM aM 2 
En Cue een =) du dv + | == 
a ) 
dso” == 
S 
= dv?, 
ou Ò Uu dv 02 
ou bien 
ay? Djek he 00, do, MDN Op —2n Nocera ee 
ds —( 1) du? + 2—1—1 Qu dv + || —1 ) + AL) 18. [2 dv?, 
ow du ov I\ av 0, | 
x 
ou encore 
9 9 — = 
ds = de + (204) Gr. ....... (86) 
0 
En vue de l’équation (77), il en résulte que, sur la nappe J”, 
les courbes v — const. sont des géodésiques, tandis que leurs trajec- 
toires orthogonales sont réprésentées par v, (w, v) = const. 
