LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 177 
En éliminant g, on obtient finalement la relation 
Eu+e,Fu+f da 
Fu +f", Gu+g 
’ 
qui fait voir que les points de contact de la droite avec les deux 
arêtes de rebroussement coincident avec les points focaux. 
$ 44. Le lieu des points focaux sera, en général, une surface à 
deux nappes. 
Si la congruence a pour support une courbe, de sorte que ses 
droites constituent un systeme simplement infini de cönes ayant 
leurs sommets sur le support, cette courbe fait partie du lieu des 
points focaux et s’appelle courbe focale. 
Il est clair que le lieu des points focaux peut encore se composer 
de deux courbes focales. 
Si l’on prend pour support une des nappes de la surface focale, 
l’&quation (96) est vérifiée par w— 0. On a donc 
NO re OO 
Il en résulte que le vecteur 9, appartient au plan tangent du 
support. 
Par suite, les droites de la congruence sont tangentes au lieu 
des points focaux. 
En substituant w —0 dans (102), on vérifie aisément que les 
équations (100) donnent u — 0, de sorte que (99) devient 
AG, +196, = §,. 
EN 
On en déduit que le plan tangent à une surface focale est en 
même temps le plan focal correspondant au point de contact. 
§ 45. Supposons que les droites d’une congruence soient nor- 
males à une certaine surface § =f (v, w). 
Parce que 9, doit être perpendiculaire aux vecteurs %, et Fw, 
on a les relations 
E 2 Don 
(G, +uö + 550) 0,)=0, 
(Ge + u Div ar op 91) 9.) =O, 
ou bien 
> du : = U 
5, | — = Om == ==()), 2 a+ 
(G, 9,) + = 0 et (&9,)+ = 0 (104) 
