180 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 
ce qui démontre que le système de courbes que nous avons en 
vue, est conjugué aux courbes w = const. 
Done, sur les nappes de la surface focale, les deux familles de 
développables de la congruence déterminent deux réseaux de 
courbes conjuguees. 
§ 47. Afin que les deux points focaux de toute droite coinci- 
dent, la relation 
CN ORNE een eg 
doit être vérifiée. 
Cela revient à 
(C1 Wir) Qe Wie) = (Gi Yin) An), 
ou bien à 
COS w COS (y — 4) = COS y. 
On satisfait à cette relation en posant 
sinyp—0 ou sin(p—yz)—0. 
Pour sin (y — y) =O on aurait %,,—+%,,, et, par suite, 
+ FG. Alors la congruence serait représentée sur la sphère 
de rayon unité de manière que le carré de l'élément linéaire 
aurait la forme do? — Ed (u + v)?. En posant u + v — 0, on aurait 
5— const. ce qui est impossible. 
Done on doit poser sin y — 0. Cela signifie que les vecteurs ©, 
et A, sont collinéaires. On peut écrire alors 
PEN CAR LE 
Par suite, on peut remplacer la relation 
(Gr PR ae be ee ee lei 
par celle-ci 
Grea wll a BAC verster Vs RO 
Or, les vecteurs G,, et A, — 6,: A déterminent le plan oscula- 
teur à la courbe w= const de sorte que cette condition exprime 
que le plan osculateur se confond avec le plan tangent à la surface 
focale. 
Donc, si sur chaque droite d’une congruence, les points focaux 
coincident, la congruence est constituée par les tangentes à un 
système de lignes asymptotiques de la surface focale. 
Cela s'accorde avec la propriété démontrée dans le $ 46, puisque 
