LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 181 
les asymptotiques doivent être considérées comme une famille de 
courbes qui se confond avec la famille conjuguée. 
$ 48. La congruence se compose des normales à une surface, 
a on a f—/*, ou bien 
(Gy Un) == 0 ALES eter a Nel eel valle oe (1 18) 
x 
Alors le vecteur U, étant perpendiculaire à ©, et à U,, sera 
collinéaire avec N,. En vue de (116) le plan osculateur, défini 
par ©, et A,, contient la normale de la surface focale. 
Done, une congruence de normales se compose des tangentes à 
une famille de géodésiques de la surface focale. 
§ 49. Considérons la congruence 
G(v) + uH, (v, w). 
Parce que ©, — 0, on a 
f=0 et g—0, 
de sorte qu’en vue de (98) les points focaux du second système 
sont définis par 
(EGER Sf BG om ss se = (LI) 
Done, sur toute droite, les deux points focaux se confondent, si 
Von a 
ou bien 
(6, 91) (Dre)? = (©, Die) (Div Our), 
ou encore 
co (Gp, Dr) cos (Gy 5 Din) coe (Diss Dia): )- 02). (121) 
Jela veut dire que le plan (,,%,,,) est orthogonal au plan 
(Dir, Du). Par suite, la normale H, du second plan appartient au 
plan (©, , Six). 
Or, le cône formé par les droites de la congruence qui se 
croisent en un point P de la courbe G, est touché par le plan 
(ou, Bin). 
Afin que tous les plans tangents du cône passent par la tangente 
(§,, il faut que ce cône dégénère en un faisceau de plans ayant 
pour axe cette tangente. 
Supposons que v représente l’arc de la courbe ©. 
En désignant par T,, ®, et B, des vecteurs unité ayant la 
direction de la tangente, de la binormale et de la normale prin- 
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