128 Niels Nielsen. 



La présente communication est destinée å étudier l'applica- 

 tion de la méthode mentionnée å une classe de series iniinies 

 qui procédent d'aprés des generalisations des deux fonctions 

 bien connues: 



W {x) = — . V cos {mo — x sin (o) dæ . 



i/^(x) = \ sin [fioj — X sin w) do) , 

 •'o 



introduites dans la théorie des fonctions cylindriques par 

 Anger ^ et Lommel - respectivement. Les series ainsi obtenues, 

 generalisations de celles deM. W. Kapteyn^, représentent encore, 

 comme les series précédentes, des fonctions discontinues qui 

 possédent aussi un domaine d'invariabilité. 



Du reste, nos series en question se lient intimement å 

 l'équation de Kepler en nous donnant, å l'aide des fonctions 

 ^/■"(x) et Q^{x), une solution nouvelle et tres elegante de ce 

 probléme celebre. Enfin, les mémes series nous fournissent un 

 moyen simple pour développer en series de puissances positives 

 de x les fonctions ^'^(ax), J''{ax)J~\ax) et quelques autres 

 analogues. 



Remarquons en passant que la fonction de Lommel peut 

 étre exprimée généralement sous forme finie å l'aide de celle 

 d'ANGER. Posons en effet, dans Tintégrale obtenue pour 

 W^^{x), 71 — CO au lieu de co, nous obtiendrons 



fflx) ^ ^^^ ( i^-l^ix) — COSnTT ' mx)] , 



formule qui appartient au fond å Gaughy ^; elle montre claire- 

 nient que ^^^{x) ne peut définir une fonction nouvelle que 



^ Comptes rendus, t. 39. p. 129; 1854. Untersuchungen iiber die Func- 

 tion I^, p. 19; Danzig 1855. 



■■* Mathematische Annalen, t. XVI, p. 187 ; 1880. 

 ' Annales de FÉcole Normale S*" serie, t. X; 1893. 

 * Gomptes rendus, t. 39. p. 431; 1854. 



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