Sur une classe de series infinies. 131 



puissent étre décomposées en ime somme des intégrales de 

 DiRiGHLET. Cela pose. nous verrons tout d'abord que les deux 

 fonctions : 



1 C^ 

 F'^{x) = — \ cos {nco — X sin co) f{co) dco , 



et : G'^'{x) = \ sin {luo — x sin co) f{oj) doj 



•'o 



sont des fonctions entiéres par rapport å x comme par rap- 

 port å fi. 



Remarcj[uons que F^{x), G^{x) satisfont toutes les deux å 

 la premiere équation fondamentale des fonctions cylindriques, 

 savoir å l'équation 



(«) a'-\x)-C''^\x) = ^D,C'\x), 



de sorte que F'^'{x) et G''{x) peuvent étre développées en series 

 neumanniennes de premiere espéce, å l'aide de la méthode 

 générale de M. Sonine ^ 



Appliquons maintenant la formule élémentaire 



cos (O — cos 2 tt» -f cos 3 (O— . . . H~ ( — 1 )"~* cos {Hoj) 



2w + 1 

 1 cos — - CO 



= 4-(-i)" — 'i^' 



2 cos -^ CD 

 1 



nous aurons immédiatement: 

 iJ3) ^{-iy~'F'^^{sx) 



s= i 



1 ( — \\n i cos H^r^ (<"^ — xsinco)] 



= 4^W-^-2;^-\— ^-yi ^f{a>)dc.. 



^ t) COS [-^{/jieo — xsm a))j 



Or, la substitution 



<p = /jicv ■ — X sin cv 



' Mathematische Annalen, t. XVI, p. o; 1880. 



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