Sur une classe de series infinies. 133 



(2) ^(- 1).- r-c..) - 1 - ^ -^'t^^ • 



ce qui donnera cette formule bien connue: 



S= 00 



OU £ est egal å 1 généralement . å l'exclusion du cas \fj.\ = 

 2p -|- 1, OU il faut mettre s^^ = i. 



Supposons que f{co) ait une dérivée. la formule (1) peut 

 étre simplifiée en introduisant cette fonction nouvelle: 



^^(a?) = \ sin {/jioj — ic sin <w) (/' {<o ) dco , 

 .'o 

 OU l'on a admis: 



f{(o) = M — -^ cos (o] g {co). 



Gela pose. une integration par parties donnera immédiate- 

 ment, pourvu que f{co) ne devienne pas infini dans l'inter- 



valle O < ro < + TT : 



^,.(^) _ sm^ J_ 



de sorte que (1) peut s'écrire, en vertu de (3), sous cette 

 forme nouvelle: 



« = 00 



(4) ^ ^~P'~' .f^^^(.9a;) 



= Y \ ^!'-^ ~ ^' •'^'" '*') 9 {<^) (l«^ + sgn;^ . - y (g {(Or) - g {tzU . 

 Posons particuliérement g[co)^to, nous avons: 



(5) ^t:^j2s^(5^) =lEif_,r + sgn«.;r^W-'^)- 



r = o 



formule qui se présente sous une forme elegante dans le cas 

 H= 1, ce qui donnera wo=7r. 



7 



