Sur une classe de series infinies. 135 



s = l 



= — 2" \ (f^''' — ^ sin (o) (J (w) do) + sgn/7. • n ^ (9(7^) — 9 {ojr) ) , 

 d'oii, en posant ^(ft>) = (o: 

 (10) ^ ^^^^-^ = _ ^ -f a; + sgn/i • tc ^ (z -Wr), 



s= i r = O 



formule qui se présente sous une forme elegante dans les cas 

 particuliers ^ = 1, ^ = 2. 



§ ^• 

 Appliquons encore la formule élémentaire 



— sin 3c« + sin5t^ — ... + (_!)« sin(2/^ + l)f,> = (-i)«^^^^i^^^+?)^; 

 nous aurons de méme la formule générale 



s = 00 r = p 



(11) V(~ i)^G^(^^+^)/^((2.+ 1)^) = ^ • y ' (-^j^(^^-"\ 



OM Vaccent placé apres le signe 2" « ?« ?w^«?6' signification que 

 dans (1) e^ o?) j> est un positif eiitier cholsi de facoit que 



(Ha) 2^+l<!2/.|<2^. + 3, 



tandis que cor" designe la racine reelle de l'équation keplérienne: 



(llb) (Or Sin<yr = Pt, — I . 



Dans le cas particulier — ^</^< + '2' ^^' somme de la serie 

 infinie qui figure au premier menihre de (11) a constamment 

 la Valeur zéro. On suppose toujours | /.« | ^ \x\. 



Les deux cas particuliers habituels donneront ici ces deux 

 formules : 



9 



