Sur une classe de series infinies. 137 



(16) ^(-irv-(,«., --j-^-X i-Lsa,. - 



.1= i r = o 

 s = oc f = p 

 (16a) y^J"\vSX) = —1-^-. y^'. ^ ,, 



^ ' y^ . ^ ' ^2 » y^ • 1 — X cos fy/ 



s = 1 r = o 



s = o r = o 



formules qui sont valables toutes les trois dans l'intervalle 

 — 1 < a; £^ + 1 , tandis que nous avons pose respectivement : 



(2r + l)r 

 (a) Wr — x-<\ncor=- 



(/9) f«>.' — X sin <«/ = 





.s „ . „ (2r+l);r 



{y) COr XSmoJr = 



"in 



La plus celebre des formules particuliéres (16) est celle 

 qui peut étre déduite de (16a) en y posant n ^ \. savoir la 

 formule 



(17) ^=l-f-2^jV). 



qui a suggéré å M. Kapteyn ' l'idée fondamentale de ses series 

 générales de fonctions cylindriques. 



Nous n'avons démontré les formules (16), (17) que dans 

 le cas particulier ou x est une quantité reelle située entre les 

 limites -|- 1 et — 1. Gependant, M. Kapteyn- a démontré que 

 les series infinies en question possédent la propriété remarquable 

 d'étre absolument convergentes aussi pour les valeurs imagi- 



' Annaler:; de TÉcole Normale. H" serie. t. X. p. 9(1: 1893. 

 =" loc. cit. p. \^± 



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