142 Niels Nielsen. 



CO — X sin O) = (f ^ I .-» I <; 1 , 

 ces deux formules particuliéres : 



(25) ,■"{,.) = ?^ { 1 - 2 J;?^. -^ V)) , 



s= 1 



(26) ^(,.) = i^ • X-Æ? ^*'^) ■ 



Introduisons maintenant ces deux fonctions nouvelles: 

 {y) n'\x) = U ¥'"{x) + il''-^\x)\ =^^cos{x sin oj) cos {fz(o)d(o, 

 (d) Xt" {x) = I i ¥1^ {x) — il'--!\x) \ = i ^sin {x sin w) sin {naj) dco, 

 nous aurons, en vertu de (25), ces autres formules: 



s — n 



appliquons la formule de Gauchy mentionnée dans l'Introduc- 

 tion, la formule (25) donnera ce développement remarquable: 



5= CO 



(29) Q\x) = 1 -2^4-2 zi ^''(^ ^^)- 



s = i 



Les trois derniéres formules sont valables aussi pour les 

 Valeurs imaginaires de x dont le module est plus petit que 

 le rayon kapteAjnien\ elles nous présentent des exemples 

 nouveaux des series kapteyniennes de premiere espéce. Les 

 formules (27), (28) donneront encore, en vertu de (23), (24), 

 ces deux remarquables développements en series de puis- 

 sances: 



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