Sur mie class-e de series infinies. 145 



drons le développement remarquable : 



S= 00 



(37) '^ = 1 -2^J—^{j\2sx)y. 



Ces trois derniéres formules nous présentent des exemples 

 nouveaux et intéressants des series kapteyniennes de deuxiéme 

 espéce; elles sont valables toutes les trois aussi pour les 

 Valeurs imaginaires de x dont le module est plus petit que la 

 moitié du rayon kapteynien. Appliquons encore les formules 

 (30), (31), nous aurons ces deux series de puissances singu- 

 liéres : 



XX ^ Slll Q, , ._ . 



(38) J^(«a;)J"^(aa;) = -^^(l-2 \ g2.(^),^2A ,x\<^% 



i+x 1— x 4cos -^ 



TZX 



(39) J'^{ax)j'^ax) = _?- . V^^2. + i(,^)^2. + i ^ |.«|<1, 



3 = 



valables pourvu que a soit plus petit que la moitié du rayon 

 kapteynien. 



Posons dans (38) « = ], ce qui est permis, et mettons 

 2it; au lieu de x, nous obtiendrons cette formule tres remar- 

 quable : 



5 = 00 



(40) /'(|)j-'(|)_5!^(l_2^5"(i).(2xf ), I^Kl, 



§8. 



Mentionnons encore quelques formules récursives obtenues 

 pour les polynomes ^"(.r), (f{x). Posons pour abréger p^p au 



lieu de , ), ' ; nous aurons, en vertu de (23) et (!24) et en 



appliquant l'équation differentielle å laquelle la fonction cylin- 

 drique J"(.r) doit satisfaire, cette équation pour les polynomes^;: 



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