Note sur les zéros de la fonction ^(s) de Riemann. 5 



racines a. Mais, autant que je sache, aucune méthode de ce 

 genre n'a encore été publiée. 



Quant aux «, il me restait toujours å essayer de calculer 

 directement les racines de ^(.s-) = O, autrement dit de de- 

 terminer les Valeurs de t reelles ou imaginaires qui donnent 

 C(|- + ^0 = O- Toutefois cette entreprise me sembla inutile 

 parceque je doutait que la formule approximative qu'il fau- 

 drait appliquer donnåt des développements assez conver- 

 gents pour les calculs dont il s'agit ici. Néanmoins l'automne 

 dernier je me suis décidé å faire eet essai, et j'ai été frappé 

 de la facilité avec laquelle il a réussi. Gertainement le deter- 

 mination d'une racine « demande bien des efforts, mais théo- 

 riquement il n'y-a-pas de difficulté et la méthode permet pour 

 ainsi dire de calculer autant d' a qu'on le veut, de fa^on å 

 rendre possible le calcul de ^{s) pour toute valeur de s, 

 pourvu que ce calcul soit pratiquement exigible. 



En partant de la definition 



^{s) = Lim 



n =. 00 



zn-" — 



1 — s 

 la partie reelle de s étant supposée > O, et en calculant la 



00 



somme 2!n-^ au moyen de la formule générale de somma- 



n 



tion, on obtient la formule connue: 



n ,.1 — 5 1 (j 



Cis) = ^.-^_^^_-.-^+_ 5, .-^- 



_sJsJJUs_±^ _3_^ (1> 



1.2.3.4 ' ' •"•' 



Bj^, B.^... représentant les nombres de Bernoulli. Cette 

 formule est généralement semiconvergente, et donne pour s 

 reelle une exactitude d'autant plus grande que n est supposé 

 plus grand. Par exemple n. = 20 donne C(^) correctement 

 avec plus de 30 décimales. 



Mais comment se comporte cette formule pour des valeurs 

 eomplexes de sV 



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