Note sur les zéros de la fonction C(s) de Riemann. 

 (T— 4) — 4^/ 



A, = 



A. = 



3-4^2 ' 

 (T— 16) — 8^e 



2 5.6«2 



(r -36)-12^. - 



La formule definitive sera alors: 

 Z{\-\-ti) = In~ 2 (cos tin — i sin tin) — «~ 2 (cos ^^?i — i sin ^/w) x 



(2) 



^^ + '^^'^" ' ^-^|^'(^,+^.i^.+^.^.^. + ...) 



T ' 2 4m 



= C(o + i s{t), 



en désignant respectivement par Cit) et <S(^) la partie reelle 

 et la partie imaginaire. 



Pour calculer au moyen de (2) C(| + ^0 avec au moins 7 

 décimales correctes, il suffit de prendre n = 20, quand t ne 

 surpasse pas 50. Afin d'appliquer cette formule au calcul des 

 racines a, on commence par dresser une petite table des Va- 

 leurs successives de C(i + H)^ pour voir s'il y aura des Va- 

 leurs de t qui semblent pouvoir annuler simultanément C{t) 

 et S{t). Ayant trouvé ainsi des limites assez vagues, on a en 

 premier lieu å calculer Z pour quelques valeurs intermédiaires 

 telles qu'on puisse obtenir par interpolation linéaire une ap- 

 proximation meilleure å la racine cherchée. En se servant des 

 tables logarithmiques å 5 décimales on peut obtenir au moins 

 4 décimales correctes de a. Et si l'on avait trouvé qu'une a 

 est située entre deux valeurs t^ et ^2 ^^ différant que par 

 10— •*, un calcul réitéré avec 7 décimales donnerait les deux 

 chiffres suivants presque exactement, å moins que l'aceumula- 

 tion des fautes dans les derniers chiffres ne s'y opposåt. 

 Quant aux valeurs maxima de C{t) et de S{t) elles ne s'élévent 

 qu'a peu d'unités. 



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