Note sur les zéms de la fonction C{s) de Riemann. 



1 " 1 " 



10 00 



^a-'" = 7903''3261''^ 2"a7i* == 7903''3223''^5, 



2a-'' = 39 ^4647 ''^l G, 2«-'« = 39 ^4657*'^ 6, 

 i 1 



d'ou l'on peut inférer que les coeflicients de log c(0 donnés 

 plus haut sont corrects aux deux derniers chiffres pres. 



On peut conclure de notre calcul que les quinze premieres 

 racines de ${t) =- O sont reelles, sans quoi, leurs parties ima- 

 ginaires seraient tres insignifiantes. Que ces racines sont véri- 

 tablement reelles, c'est ce que nous prouverons ci-dessous. 

 On ne voit pas de raison pour que les racines suivantes se 

 comportérent autrement. En plus des renseignements que le 

 calcul achevé m'a fournis sur la variation de la fonction 

 C(i -|- ti), il rend aussi possible le calcul de log g{t) pour 

 ^ < 50 au moyen de la serie domiée plus haut et des valeurs 

 trouvées pour les premieres racines. Enfin la connaissance de 

 ces racines donne le moyen d'aborder l'étude des termes pé- 

 riodiques dans les formules analytiques exprimant des fonctions 

 des nombres premiers. 



Mais le resultat le plus interessant qu'ait donné ce cal- 

 cul consiste en ce qu'il révéle l'irrégularité qui se trouve dans 

 la serie des «. Il est tres probable que ces racines sont liées 

 intimement aux nombres premiers. La recherche de cette 

 dépendance, c'est-å-dire de la maniére dont une a donnée est 

 exprimée au moyen des nombres premiers, sera l'objet d'études 

 ultérieures. 



A coté des valeurs des «, mon calcul m'a fournis des ren- 

 seignements sur un autre point digne d'intérét. C'est qu'il se 

 trouve aussi des valeurs reelles de t qui font annuler soit la 

 partie reelle soit la partie imaginaire de C(i + ^0' ^^^^^ diffé- 

 rentes des a qui font annuler simultanément les deux parties. 



