Nole sur les zéros de la fonction C(s) de Riemann. 18 



Si l'on designe par /? les racines de C{t) = O, par y celles 

 de *S(^) := O et qui sont différentes des «, oii aura done, 

 avec une grande approximation, pour les racines positives: 



^V''^^'~^) 8 ~ 2 ' • ^^^ 



é(logé-l)-8^=- (10) 



Considérons particuliérement les y; alors on trouve: 

 1'^ = 3-5 pour n == — 1, 

 T2 = 9-6 — w = — 1, 



r, = 17-8 - 

 r, = 23-2 - 



Les y suivantes correspondent aux nombres successifs 

 n = 2, 3, 4 etc. On voit par lå que le nombre des racines 

 y qui sont inférieures å une limite donnée N et plus grandes 

 que 10 sera exprimé å peu pres par le plus grand nombre 

 entier contenu dans l'expression: 



N /, N A .7 



Toutes les racines y ainsi que le /? seront évidemment reelles. 

 Rappelons que M. v. Mangoldt a démontré que le nombre 

 des racines a dont la partie reelle ne surpasse pas N est re- 

 présenté par l'expression 



N [, N . 



27r V^Stt 



OU £<0-34 (log iV)2 + l-34 log iV+ 1-33; il suit de lå que les 

 y et les a (ou les parties reelles de celles-ci) se suivent de 

 tres pres. — Pour les quinze premieres a il arrive que toutes 

 les a sont séparées par les valeurs des y, mais non par les 

 Valeurs des /?. Il va sans dire que les /9 et les y se suivent 

 alternativement . 



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