14 J--P- Gram. 



Aprés avoir ainsi trouvé toutes les valeurs de t qui annu- 

 lent une des fonctions C{t) et S{t) seulement, il est clair que 

 toute autre valeur de t qui fait annuler ou C{t) ou S{t) 

 doit annuler m et sera done une racine a qui donne aussi 

 bien C{a) = O que S{a) = 0. Notre calcul prouve sans 

 contredit qu'il y å des valeurs de t reelles différentes des y 

 et qui font changer le signe de S{t). Ges valeurs font done 

 annuler S{t) et seront des racines veritables de ^{t) = 0. 11 

 est done certain que les premieres a sont reelles. 



De l'identité 



C^iS = e^"P{C — iS) 



on obtient par differentiation par rapport å t: 



C'-^iS' = e^'^{C' — iS') + 22>' {C — iS) e^*?'. (11) 

 Quand C =-= S = O, on aura done: 



d'ou: i^j .== ^-^^«)' (^^^ 



formule qui m'a fourni un moyen de controle sur mon calcul. 



Quand C = O, S >0,e^^^ = — 1, on trouve d'aprés (11). 



C'{I9) =^ -<p'{i9)S{l9), (13) 



tandisque 5 = O, C > O, e^^^ = 1 donne: 



Quand t > 7, ^'{t) est toujours négatif; on a done pour 

 les racines correspondantes le théoréme suivant: 



C'(^) u toujours le méine signe que S{^); S'{y) a le signe 

 oppose å celui de C{y). 



Si done C{y) conserve le méme signe pour deux valeurs 

 consécutives de y, savoir y^, et yv+ii ^'ir^' + i) ^^ra elle méme 

 le méme signe que S'^-y Mais comme S^y^) = Sq'^,^\) = O, 

 il faut done que *S(^) ait passé par la valeur zéro un nombre 



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