118 Niels Nielsen. 



donne directement — comme l'a fait Hansen — les series de 

 J^{x) et J\x) ; de plus, il indique comment il est possible de 

 déduire aussi la serie asymptotique représentant J''{x) (n po- 

 sitif entier), et il en est de mérae du mémoire de M. Lipsghitz^ 



Dans son livre sur les fonctions cylindriques, Lommel - in- 

 dique formellement, sans demonstration rigoreuse, l'expression 

 asymptotique plus générale obtenue pour J''{x), v étant un 

 nombre fmi quelconque. Gependant, c'est Hermann Hankel -^ 

 qui a réussi å donner le premier une solution compléte du 

 probléme relatif å la représentation asymptotique d'une fonc- 

 tion cylindrique et å discuter ces devéloppements pour des 

 Valeurs différentes, mais å module tres grand, de x. Or, une 

 telle recherche a couté beaucoup de peine å Hankel, å cause 

 de l'état rudimentaire oii se trouvait å cette époque la théorie 

 systématique des fonctions cylindriques qui venait d'étre fondée 

 dans ses elements par le livre de M. G. Neumann * et aussi par 

 celui de Lommel. 



Pendant les derniéres années, M, H. Webers (Strasbourg) 

 a indiqué une méthode nouvelle pour déduire les series asymp- 

 totiques susdites. Gependant, cette méthode me semble trop 

 particuliére pour éclaircir complétement cette théorie. 



Le but principal du mémoire que j'ai l'honneur de pre- 

 senter ici å VAcadémie Royale des Sciences et des Lettres de 

 Danemark est de montrer comment une etude approfondie, 

 mais tres simple du reste, des fonctions cylindriques nous 

 conduira immédiatement aux series asymptotiques susdites et 

 å toutes leurs formes différentes. Ge resultat a été obtenu 

 en introduisant , outre J^x) et Y'''{x), deux nouvelles fonc- 



1 Journal de Grelle, t. LVI, p. 194; 1859. 



2 Studien iiber die Bessel'schen Functionen, p. 58, 93; Leipsic 1868. 



3 Mathematische Annalen, t. I, p. 491—501 ; 1869. 



■* Théorie der Bessel'schen Functionen, Leipsic 1867. 



5 Mathematische Annalen, t. XXXVIII; 1890. Voir aussi Texcellent 

 livre de M. Weber: Die partiellen Differentialgleichungen der mathe- 

 matischen Physik, t. I, p. 180; Brunswick 1900. 



o 



