Théorie nouvelle des series asmyptotiques. 111) 



tions cylindriques qui possédent relativement au changement 

 du signe de x les ménies propriétés que J^{x) et qui se 

 comportent du reste comme e±'^ pour des valeurs extréme- 

 ment grandes de \x\. Généralement on peut dire que J'^x) 

 et ^{x) sont des generalisations naturelles de cosa; et de sina? 

 respectivement, tandis que les fonctions nouvelles H'''{x) corres- 

 pondent å e-^'-^. A cause de ces valeurs asymptotiques les 

 fonctions H^x) sont destinées å renouveler la théorie des 

 intégrales défmies contenant une fonction cylindrique. Dans 

 le present mémoire, j'e n'ai pu montrer que dans quelques 

 cas particuliers ce role fondamental des fonctions H^{x). 



Comme l'application la plus essentielle, connue pour le 

 moment, des fonctions H'\x), je cite l'évaluation d'une serie 

 asymptotique représentant la fonction de Lommel n''^\x) qui 

 est une generalisation tres étendue des fonctions cylindriques. 

 De cette maniére on déduira, en faisant varier simplement les 

 parametres v et ^, toutes les formules particuliéres de ce 

 genre connues auparavant dans les applications des cas parti- 

 culiers de n''''^{x) dans la Physique mathématique. On peut 

 consulter par exemple les mémoires de MM. H. - F. Weber ^ 

 (Zurich), H. Struwe- et du comte de Rayleigh^. 



Abstraction faite de ces applications, la fonction n'''''\x) 

 joue un role si essentiel dans la théorie des fonctions cylin- 

 driques qu'il n'est pas possible de l'exclure d'un traité systé- 

 matique sur ces fonctions*. De plus, je démontrerai dans 

 une autre occasion que des cas particuliers de W'^ix) donnent 

 lieu aux développements des fonctions arbitraires en series 

 analogues å celles de Fourier mais contenant les fonctions 

 susdites au lieu de cosa^ et de sina?. C'est pourquoi je con- 



^ Vierteljahrsschrift d. Naturforschenden Gesellschaft in Zurich, t. XXIV, 

 p.49; 1879. 



2 Annales de Wiedemann, t. XVII, p. 1008; 1883. 



3 Theory of Sound, t. II, p. 164; Londres 1896. 



* Voir par exemple mon mémoire inséré dans les Annali di Matema- 

 tica, t.VI, p. 64-78; 19U1. 



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