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sidére comme essentiel le développement en serie asympto- 

 tique de Il^'^{x). 



Qiiant aux intégrales définies dont je fais iisage dans les 

 recherches suivantes, je me suis efforcé de les étudier d'une 

 maniére systématique et d'un point de vue general, ce qui 

 n'a pas encore été fait dans les recherches antérieures sur 

 ce difficile sujet. 



On voit par exemple cjue M. Schafheitlin ^ a pu étudier 

 de cette maniére les intégrales qui représentent la serie hyper- 

 géométrique. En effet, en substituant dans ses intégrales la 

 fonction cylindrique générale C^{x) å J^{x), on voit que les 

 calculs de M. Sghafheitlin^ conduiront toujours å l'équation 

 de Gauss. Puis, introduisons des fonctions cylindriques H'\x), 

 nous obtiendrons des expressions intégrales valables aussi 

 pour des valeurs imaginaires du quatriéme element de 

 F{a, fi,y,x). Gependant, je me reserve de revenir sur ce 

 pojnt dans une autre occasion. 



Or, il est evident qu'une etude si générale des intégrales 

 défmies susdites nous conduira souvent å des fonctions beaucoup 

 plus générales que les fonctions ordinaires; mais méme dans 

 ces cas, notre méthode est tres avantageuse parce qu'elle nous 

 donne immédiatement tous les cas plus particuliers oii les 

 fonctions susdites se réduisent aux fonctions connues; c'est- 

 å-dire que les intégrales s'expriment å l'aide des fonctions 

 élémentaires. De cette maniére j'ai trouvé par exemple les 

 intégrales figurant aux chapitres V, VI, tandis que je n'ai pas 

 discuté ici les autres intégrales défmies d'une forme analogue 

 qui représentent aussi des fonctions cylindriques. 



1 Matheniatische Annalen, t. XXX. 



2 loc. cit. p. 161— 162. 



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