Théorie nouvelle des series asymptotiques. 121 



Premiere Partie. 



Fragments d'une théorie systématique des fonctions cylindriques. 



Chapitre I. 



Propriétés fondamentales des fonctions cylindriques. 



§ 1. Fonctioiis cylindriques de premiere et de deuxiéme espece. 



La fonction cylindrique de premiere espece (ou fonction 

 cylindi'ique hessélienne) peut, pour des combiiiaisons quel- 

 conques des valeurs fmies de ses deux variables: l'argument 

 X et le parametre v, étre exprimée par cette serie infinie: 



(1) r{x) =^ 



s\ r(v+s+i)' 



s = 



poiirvu que l'on ait défmi d'une maniére convenable la puis- 

 sance x". 



Quant å la fonction cylindrique de deuxiéme espece (ou 

 fonction cylindrique neumannienne) , la definition suivante 

 parait étre la plus commode: 



(2) Y\x) = -J—(cosu7T-J'''ix)-J-\x)). 



Dans le cas particulier oii v est egal å un entier w, l'expres- 

 sion figurant au second membre de (2) se présente sous une 

 forme indéterminée. Or, posons pour abréger: 



s =: 00 



s = 



OU c designe la constante d'EuLER ; puis appliquons cette for- 

 mule bien connue 



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