r2 



•^S) Niels Nielsen. 



(3) 



OU n designe un entier non négatlf, le procédé ordinaire donnera 

 immédiatement pour la fonction Y"{x) cette expression: 



:r-Y'\x) = 2J»log|-^ sl{n + s)l (s^(^+l) + ^(^^+^+^))+ 



« = n — 1 n—2s 



y-;(w_5— 1)! /2 



s! \ *• 



Oli nous avons supposé pour un instant que l'entier n est 

 positif OU zéro. 



Pour étudier le cas oii ce nombre est negatif, remarquons 

 tout d'abord que la formule (2) donnera généralement : 



(4) J~'''{x) = cos V7T • J'^ix) — sin un ■ Y\x) , 



(5) Y~''{x) = sin i/;r • J\x) + cos un • Y''{x) , 



d'ou, en supposant v egal au positif entier w, on obtiendra: 



(6) j-» = (-i)V», r-» = (-irr», 



et voila la determination compléte de notre fonction cylin- 

 drique de deuxiéme espéce. 



On voit que la somme fmie figurant au second membre 

 de (3) contient å la fois des puissances positives et des puis- 

 sances negatives åe x; la somme des derniéres puissances 

 mérite d'étre introduite comme fonction indépendante dans la 

 théorie des fonctions cylindriques ; posons avec Schlåfli ^ : 



<¥ 



l)!/2 



,7) «»-^*-^?^( 



La formule générale (3) est due å Hankel ^ et Schlåfli ^ 



1 Mathematische Annalen, t. III; 1871. 



^ Mathematische Annalen, 1. 1, p. 471; 1869. 



' loc. cit. 



