Théorie nouvelle des series asymptotiques. 123 



tandis que Puemann* et Meissel- ont trouvé l'expression par- 

 ticuliére pour y^{x) ; cependant c'est M. G. Neumann ^ qui a 

 donné le premier une expression explicite pour Vix), n étant 

 un entier quelconque. 



§2. La fonction cylindrique generede C'^x). 



Ges remarques faites relativement aux fonctions J^{x) et 

 Y'^x) , il est aisé de voir que ces deux fonctions nous four- 

 nissent un moyen simple pour résoudre complétement ces 

 deux équations fonctionnelles : 



(1) c'-\x) - C'^\x) = ^2D,C'{x), 



(2) c'-\x) + e+\x) = ^e{x), 



et cette équation differentielle linéaire et homogene du second 

 ordre : 



(3) ^^''+^y^'^^(l-^2)i/ = <^' 



souvent dite équation de Bessel, 



En effet, on voit que la solution la plus générale du 

 systéme (1), (2) peut s'écrire sous cette forme* 



(4) C\x) = a{v) J\x) + h{u) Y\x) , 



oii les deux fonctions a{v) et &(i'), indépendantes de a;, doi- 

 vent étre périodiques et avoir la periode additive -f 1 '■> niais 

 du reste elles sont complétement arbitraires. Dans ce qui 

 suit, nous désignons toujours comme fonction cylindrique 

 yénérale de Varyument x et du parametre v la fonction C"{x) 

 définie a Vaide de (4)^ c'est-å-dire la solution yénérale du 

 systéme (1), (2). 



^ Mathematisclie Werke, p. 59; 2« éd. l^eipsic 1892. 

 " Gewerbschulprogramm, Iserlohn 18(j!2; citat de Meissel: Jahresliericht 

 der Ober-Realschule Kiel 1890, p. 1. 



* Theorie der BesseFschen Functionen ; Leipsic 1867. 



* Voir par exeniple mon mémoire dans les Annali di Matematica, 

 t.V, p.29; 1900. 



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