Théorie nouvelle des series asymptotiques. 125 



fonctions. En effet, l'introduction de J~''{x) défigure beau- 

 coup un grand nombre de formules en les rendant inappli- 

 quables pour des valeurs entiéres du parametre v. Il suffit 

 de renvoyer le lecteur aux mémoires de Lommel ^ et de M. 

 SoNiN^ par exemple. De plus, un grand nombre des for- 

 mules fondamentales trouvées pour J^{ji') sont inappliquables 

 pour J~'''(x). Au contraire, introduisons Y'''{x), toutes les for- 

 mules susdites gardent leur validité dans tous les cas, de sorte 

 (jue les formules fondamentales de J^ix), abstraction faite de 

 celles qui se présentent comme une conséquence immédiate 



du fait que (—1 J''{x) est une fonction transcendante entiére, 



sont valables pour Y''{x) et par conséquent aussi pour la 

 fonction cylindrique générale C'''{x). 



Gela pose, on voit clairement que l'introduction de C^{x) 

 nous évite de démontrer les formules en question pour J^ix) 

 et ensuite séparément pour Y'-'{x) aussi, ce que font générale- 

 ment les auteurs antérieurs. En d'autres termes la fonction 

 J\x) doit étre å jamais bannie de la théorie des fonctions 

 cylindriques comme fonction indépendante ; sa seule raison 

 d'étre est son role comme fonction intermédiaire dans le pas- 

 sage de J''{x) å Y'''{x). 



§ 3. Fonctions cylindriques de troisieme espece. 



Il est evident qu'il est possible d'exprimer la solution 

 générale des équations fonctionelles (1), (2) § 2 å l'aide de 

 deux autres solutions particuliéres indépendantes entre elles, 

 et , quoique les fonctions J\x) et Y^{x) soient les solutions 

 les plus simples pour développer la théorie systématique des 

 fonctions cylindriques, il nous sera tres utile d'introduire ces 

 deux fonctions nouvelles: 



(1) H\{x) = J\x) — iY'\x), H\{x) = j\x)-iY\x), 



^ Mathematische Annalen, t. IX. 

 ^ Mathematische Annalen, t. XVI. 



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