126 Niels Nielsen. 



pour lesquelles nous proposons le nom de: fonctions cylin- 

 driques de troisiéme espéce, ou bien de : fonctions cylindriques 

 hankélietmes. En effet, les deux expressions obtenues de H^ et 

 Ho en y remplagant la fonction Y^{x) par l'expression (2) 

 § 1 jouent im role tbndamental dans les recherches d'HANKEL^ 

 sur la représentation asymptotique d'une fonction cylindrique. 

 Plus tard Hankel ^ mentionne l'utilité de H\{x), mais sans 

 appliquer systématiquement une telle fonction. 



Maintenant on voit sur-le-champ que H.\{x) et Hl(x) sont 

 indépendantes entre elles; de méme on exprime aisénient, å 

 l'aide de ces deux fonctions, les fonctions primitives J^{x) et 

 Y^{x) et par conséquent aussi la fonction cylindrique géné- 

 rale C^{x). 



Appliquons ensuite (4), (5) § 1 , nous obtiendrons ici ces 

 deux formules elegantes: 



(2) HT\x) = e'^^'Hlix). HT\x) = e-''""' Hl{x). 



Puis, éliminons la fonction Y\x); nous aurons, en vertu 

 de (1): 



(3) H^,{x) = J- (e-'^^j\x) - J-\x)) , 



formule qui nous démontrera aisément cette proposition re- 

 marquable: 



Supposons positif l'argument x et reel le jjarametre u ^ les 

 deux nomhres conjugués 





sont des quantités reelles. 



Cependant, la propriété la plus essentielle des fonctions 

 cylindriques de troisiéme espéce, ce sont leurs expressions 

 asymptotiques pour des valeurs tres grandes de |a;|. En effet, 



' Mathematisclie Annalen, 1. 1, p. 491 ; 1869. 

 " Mathematische Annalen, t. VIII, p. 454; 1876. 



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