Théorie nouvelle des séiies asymptotiques. 127 



comme nous le démontrerons au §11, ces expressions sont 

 du méme caractére que e-^^ , et voila la raison de la grande 

 utilité de ces deux fonctions dans la théorie des intégrales 

 définies contenant une fonction cylindrique. Dans les cas 

 particuliers v = +2' ^^^^ aurons exactement: 



(4) Hl{^)~-i\/^^-e", aJW = .V|;-^-", 



(5) h:\x) = |/|-A H;*{x) = V^^-e-". 



§ 4. Branches différenfes d'nne fonction cylindrique. 



Les definitions mémes des quatre fonctions cylindriques 

 particuliéres montrent clairement que ces fonctions, å l'excep- 

 tion de celle de premiere espéce et de parametre entier, ont 

 å l'origine un point de ramiflcation qui donnera naissance å 

 une infinité de branches différentes de ces fonctions. 



Gonsidérons d'abord la fonction de premiere espéce dont 

 le parametre n'est pas egal å un entier; nous aurons, en dé- 

 signant par p un entier quelconque: 



(1) J\xe'"'') = /^'^'J», 



ce qui donnera, en vertu de (2) § 1 : 



^ ^ ^ -^ \ J i sm v;r 



et pour les fonctions de troisiéme espéce: 



ro\ tr"/ J>7r:\ zj'^, \ ^ • • o"/ \ 2C0S v~- sinpj/- j-j,. 



(3) H^ (ic/'") = cos2;v;r • H^ [x] + 1 smyjy- -H^ {x) sE^JtT^ — ^^' 



/Ax xy-'i pr.,\ t/l'/ X I . • rj'-'/ \ I 2cosv>T-sinpvr ^v, . 



(4) H^{x(^ ) = C0S2)^7:-H,{x)^tsmiJi^z-H^{æ)^, ^^^ J [x). 



Dans le cas ou le nombre entier 2^ est pair, les quatre 

 formules que nous venons d'établir nous donnent toutes les 

 branches différentes des fonctions correspondantes obtenues en 

 faisant tourner la variable x autour du point critique x =-= 0. 



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