Théorie nouvelle des series asymptotiques. 129 



Ici nous nous bornerons å considérer quelques cas parti- 

 culiers de notre fonction générale, cas particuliers qui nous 

 seront indispensables dans nos recherches suivantes sur des 

 intégrales définies. En premier lieu, posons p ^ O, p = i; 

 nous aurons respectivemenl : 



2 COS ^ I 



(2) ir'\x) = n\x) = " \ COS {x COS <p) cos {v<p) d<p , 



(3) 77''' '(j-) = X\x) = ■ ^ \ sin (x cos f) cos (i>^) d(p , 



de facon que la somme n\x) -\- X'ix) nous donne la fonction 

 d' Anger ^ : 



(4) W\x) = n'\x) + X\x) = ^ \ cos {x sin <p — vip) d<p , 



qui représente une generalisation de la premiere intégrale de 

 Bessel^ représentant la fonction J"(a;)i ** ^tant un entier; la 

 fonction ¥\x) d' Anger est certainement le premier essai fait 

 pour generaliser la fonction cylindrique de premiere espéce et 

 de parametre entier. 



Designens ensuite par n un entier non négatif, nous aurons, 

 en vertu de (1): 



(o) //"■"-'» = J\x), n'''-^'-'\x) = cos,::-J'\x). 



Posons encore: 



\V+2« 



'^'(-i)'(fr 



(6) æ"'"(x) =2. ,;/-(, + ,+ !) ; 



s = 



nous aurons de méme, n désignant un positif entier: 



' Comptes rendus, t. XXXIX, p. 1^29; 1854. Neueste Schriften der 

 Nalurforschenden Gesellschaft in Danzig, t. V, p. 16; 1855. 

 * Abhandlungen der Berliner Akademie, 1824, p. 22. 



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