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Théorie nouvelle des series asymptotiques. 131 



§ 6. Dét'irées (h Ja fonction de Lommel inises par rapport 

 aux parametres. 



Considérons maintenant la dérivée de n'''^{x) prise par 

 rapport au parametre />, fonction qui peut étre formée im- 

 médiatement å l'aide de (1) §5, de facon qiie nous aurons 

 ces resultats remarquables : 



et plus généralement , en désignant par n un nornbre entier 

 quelconque : 



(2) (D^ n--"(.%,,^,„^, - -(-ir| 2-». 



Désignons constamment par n un entier non négatif, nous 

 aurons, en appliquant les farmules fondamentales de la théorie 

 de r{x) enumérées au § 1 : 



OU l'on a pose pour abréger: 



s = 



i/—n+2s 



'^^ r(v-w+s+i)U; 



S = 



fonction qui représente une generalisation de la fonction 

 cylindrique de deuxiéme espéce et de parametre entier. En 

 effet, désignons par i^ un nombre entier egal å n au plus, 

 nous aurons, en vertu de (4) et de (3) § 1 : 



(5) L''\x) = Y\cc), p<n, 



tandis que nous aurons pour p > n : 



s=-p—n—l 



(G) L-(.)=rV)-^fc^ 



(p-s-i)\ /^y-^ 



s = 



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