Théorie nouvelle des series asymptotiques. 133 



cette équation differentielle linéaire mais non homogene du 

 second ordre: 



intégrale qui nous sera indispensable dans nos recherches 

 suivantes. A eet égard, remarquons qu'il suffit évidemment 

 de connaitre une intégrale particuliére de (1), car l'équation 

 homogene correspondante n'est autre chose que l'équation de 

 Bessel. 



Or, un calcul direct montre clairement que n-''P{x) est 

 intégrale particuliére de cette équation analogue å (1): 



(2) y'''+-yw+(l--.)y - rle±i]rle=iM 



Désignons maintenant par A^'^(x) l'intégrale particuliére sus- 

 dite, nous aurons généralement : 



cos^(v — ^) 



expression qu'il faut modifier dans les cas particuliers suivants : 

 1° p = 4ii/-|-2», w étant un positif entier; nous aurons, 

 en vertu de (7) § 5 : 



(4) A''^''^'\x) = -2^^+'"-\»-l)ir(±v + ^)^±^'», 



expression qui est valable aussi si nous supposons -i-i/-}-n 

 egal å un entier non positif. 



2° p ^ ^i'-\-^n-\-l, n désignant un nombre entier 

 quelconque. Les formules (11) § 5 et (2) § 6 donnent aisément: 



(5) A- (x) = 2- /(^«^i)r(«±v + i)^- (a-), 



expression qui n'est pas applicable dans le cas particulier 

 Oli w-hiz-f-^ est egal å un entier non positif; cependant ce 

 cas n'est autre chose qu'un cas particulier du suivant: 



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